Bu hayatta bildiğiniz üzere biz insanlar bir sürü karar alıyoruz, bu kararları elimizden geldiğince bazen en iyi , bazen de  kişisel keyif veya zevklerimize göre veririz. Kararları bir endüstri mühendisi gibi vermeye ne dersiniz? Sizlere bir yöntem anlatacağım bu yöntem hayatınızı değiştirir mi bilemem ama hayatınıza, özellikle profesyonel hayatınıza uyarlayabilirsiniz. Bu yöntemin adı yöneylem araştırması, doğrusal karar modeli, doğrusal algoritma gibi bir çok isimde nitelendirilir.

 

Bu matematiksel yaklaşım, karar vermeniz gereken konuyla ilgili, parametreleri matematiksel olarak değerlendirerek en iyi sonucu almanızı sağlar.

 

Bunu sizlere bazı örnekler ile anlatacağım ve eminim bunu hayatınızın bir çok yerinde kullanacaksınız, eğer çok daha karışık bir sorun çözmek için kullanmak isterseniz de Excel’in Solver adı bir aracı var, bu araç sorunun cevabını simples algoritmasını koşturarak cevabını birkaç saniye içerisinde veriyor.

 

Örnek 1: Beslenme Programı 

 

   Bir insanın günlük besin gereksinimiyle ilgili yapılan çalışmalar sonucunda kilosu ile orantılı olarak her gün belirli bir miktarda protein, karbonhidrat ve yağ tüketmesi gerekiyor. Bu miktar da insanın her kilosuna karşın, karbonhidratta 2 gram , proteinde 0.4 gram, yağ da ise 0.3 gram gibi değer olarak ortaya konmuş, tabi bu veri gelecek dönemlerde tıp ve ilaç dünyasının gelişimine göre değişiklik gösterebilir. Biz de şöyle bir soruya cevap arayalım, 65 kilogram ağırlığındaki bir insanın günlük öğününü en ucuz olacak şekilde tamamlaması için nasıl bir beslenme dağılımı yapması gerekmektedir?

 

​

​

​

​​

​​

​​​​​

​

​

Not: Bu soruda karar vericiler sağlık açısından beslenme uzmanları ve sağlık çalışanlarıdır, amacımız en az maliyet ile besin gereksiniminin nasıl karşılandığıdır.

​

 Karar değişkenleri;

 

X_1: Günlük tüketilecek süt miktarı

X_2: Günlük tüketilecek fasülye miktarı

X_3: Günlük tüketilecek patates miktarı

X_4: Günlük tüketilecek reçel miktarı

X_5: Günlük tüketilecek buğday miktarı

​

Parametreler;

 

Karbonhidrat Kısıtı;

 

5.5x_1 + 55.9x_2 + 17.5x_3 + 71.1x_4 + 69.3x_5 >= 130 ( kilonun 2 katı karbonhidrat) 

 

Protein Kısıtı

 

3.5x_1 + 22.6x_2 + 1.8x_3 +                +11.5x_5  >= 26 ( kilonun 0.4 katı kadar protein)

 

Yağ Kısıtı

 

3x_1    + 1.6x_2 + 0.1x_3 +.                +2.2x_5      >=  19.5 ( kilonun 0.3 katı kadar yağ)

 

 

X_1,x_2,x_3,x_4 ve x_5 >= 0

 

Kısırları altında;

 

EnKüçük(x0) = 30x_1+ 150x_2 + 15x_3 + 225x_4 + 12x_5

 

Yukarıda parametrelerimizi ve en küçükleme fonksiyonumuzu kurduk, simplex algoritması ile de çözeceğiz.

 

Adım 1: Standart forma dönüştürme

 

Simplex’te eşitlik gerekir. “>=” kısıtlarını eşitliğe çevirmek için fazlalık değişkeni çıkarılır ve yapay değişken eklenir.

 

 

5.5x_1 + 55.9x_2 + 17.5x_3 + 71.1x_4 + 69.2x_5 - s_1 + a_1 = 130

 

 

 

3.5x_1 + 22.6x_2 + 1.8x_3 + 0x_4 + 11.5x_5 - s_2 + a_2 = 26

 

 

 

3x_1 + 1.6x_2 + 0.1x_3 + 0x_4 + 2.2x_5 - s_3 + a_3 = 19.5

 

 

Burada:

     •           s_1,s_2,s_3: fazlalık değişkenleri

     •           a_1,a_2,a_3: yapay değişkenler

 

ve tümü >= 0.

 

Adım 2: Büyük M yöntemiyle amaç fonksiyonu

 

Minimizasyon problemi olduğu için yapay değişkenleri cezalandırırız:

 

 

Min Z = 30x_1 + 150x_2 + 15x_3 + 225x_4 + 12x_5 + M a_1 + M a_2 + M a_3

 

 

Burada M çok büyük pozitif bir sayıdır.

 

Amaç, çözüm sonunda yapay değişkenleri sıfıra indirmektir.

 

Adım 3: Hangi değişkenin çözüme girmesi daha avantajlı?

 

Burada problemi çok daha akıllıca okuyabiliyoruz. Amaç minimum maliyet olduğundan, her besinin özellikle yağ sağlama maliyetiönemlidir. Çünkü çözümde bağlayıcı kısıtın yağ olduğu görülür.

 

Her ürün için “1 gram yağın maliyeti”:

 

Süt

 

 

30/3 = 10

 

 

Fasulye

 

 

150/1.6 = 93.75

 

 

Patates

 

 

15/0.1 = 150

 

 

Buğday

 

 

12/2.2= 5.45

 

 

Reçel

 

Yağ içermediği için yağ kısıtına katkısı yoktur.

 

Buradan görülür ki yağ ihtiyacını en ucuza sağlayan ürün buğdaydır.

 

Simplex mantığında bu şu anlama gelir: amaç fonksiyonunu en hızlı iyileştirecek sütun, x_5 sütunudur.

​

 Adım 4: Yalnız buğdayla çözüm denenmesi

 

Eğer yalnızca x_5 çözümde pozitif olacaksa, kısıtlar:

 

Karbonhidrat

 

 

69.2x_5 >=130.             x_5 >=130/69.2. =1.879

 

 

Protein

 

 

11.5x_5 >=26.                x_5>= 26/11.5 = 2.261

 

 

Yağ

 

2.2x_5 >=19.5                 x_5>= 19.5/2.2 = 8.864

 

 

Bu üç değerin en büyüğü alınmalıdır:

 

 

x_5 = 8.864

 

 

Bu durumda diğer kısıtlar otomatik sağlanır.

 

Adım 5: Oran testi mantığı

 

Simplex’te pivot satırı seçilirken giren değişken sütunundaki pozitif katsayılara göre oran testi yapılır.

 

x_5 sütunu için oranlar:

 

 

130/ 69.2 =1.879

 

 

 

26/11.5 = 2.261

 

19.5/2.2= 8.8624 

 

Minimizasyonun bu kurulumunda çözümün uygulanabilir ve en düşük maliyetli olması için kritik sınır yağ kısıtında oluşur. Yani buğday arttırıldığında ilk bağlayıcı olan kısıt yağ değil, aslında en çok miktar gerektiren kısıt yağdır. Bu yüzden son çözüm:

 

 

x_5 = 8.864

 

 

olur.

​

Adım 6: Optimal çözüm

 

 

x_1 = 0  x_2 = 0  x_3 = 0 x_4 = 0 x_5 = 8.864

 

Adım 7: Amaç fonksiyonu değeri

 

 

Z = 30(0) + 150(0) + 15(0) + 225(0) + 12(8.864)

 

 

 

Z = 106.368

 

 

Yaklaşık:

 

 

Z_min = 106.37 TL

 

​

Yorum: Bu soruda tam tablo tablo pivot işlemlerini uzun uzun yazmak teknik olarak mümkündür; ancak problem yapısı çok açık olduğu için simplex’in vardığı sonuç özünde şudur:

    •    reçel pahalıdır ve protein/yağ vermez,

    •    fasulye yağ açısından çok pahalıdır,

    •    patatesin yağ katkısı çok düşüktür,

    •    süt buğdaydan daha pahalıdır,

    •    buğday hem ucuzdur hem karbonhidrat, protein ve yağ birlikte sağlar.

 

Bu yüzden optimum köşe noktası yalnızca x_5’in pozitif olduğu noktadır.

​

​

​

​

​

​